برای محاسبه نیروها و گشتاورهای وارد شده بر بدنه کشتی معادلات بالا را به شکل زیر تبدیل میکنیم:
(‏۴‑۴)
(‏۴‑۵)
(‏۴‑۶)
X , Y حاصل جمع تمام نیروهای وارد شده در جهت محورهای x,y میباشد و N گشتاور حاصل شده از این نیروها است.
بطور کلی رابطه بین X , Y , N را میتوان به شکل زیر معرفی کرد:
(‏۴‑۷)
بسط سری تیلور معادله فوق به شکل زیر معرفی میشود:
(‏۴‑۸)
همچنین میتوانیم مشتقات هیدرودینامیک را بشکل زیر تعریف کنیم:
(‏۴‑۹)
بنابراین معادله (۴-۶) به شکل زیر تبدیل میشود:
(‏۴‑۱۰)
به طریق مشابه میتوان معادلات (۲٫۴) و (۲٫۵) را به معادلات زیر تبدیل کرد:
(‏۴‑۱۱)
(‏۴‑۱۲)
دقت شود در زمانی که سرعت حرکت در راستای محور x ثابت باشد، معادله ایی برای X نداریم.
زمانی که معادلات سیستم از بسط تیلور خارج شود، قسمت غیر خطی نمایان شده، در این مرحله مدل کلی حاصل میشود. اگرچه این مدل تمامی امکانات سامانه را برای هدایت معرفی و مشخص میکند، اما شکل مناسبی برای طراحی کنترلگر ندارد. برای مثال، تابع تبدیل، شکل مناسبی برای طراحی کنترلگر دارد. دقت شود که تابع تبدیل برای سیستمهای خطی مورد استفاده قرار میگیرد، اما میتوان بلوکهای خطی (دارای تابع تبدیل خطی) را با بلوکهای غیر خطی ترکیب کرد. روش فوق یک راه مناسب برای بدست آوردن تابع تبدیل از مدل ریاضی برای سامانه مورد نظر میباشد.
در محاسبات زیر به منظور مثبت کردن گین تابع تبدیل، جهت چرخش سکان در خلاف جهت ساعتگرد را بصورت مثبت در نظر گرفته میشود.
پیشنهادی که در سال ۱۹۵۷ ارائه شد (مدل نوموتو) بر این اساس بود که میتوان دو تابع تبدیل خطی ساده را از معادلات (۴-۱۱) و (۴-۱۲) بدست آورد. حتی محدودیتهایی که توسط مدل نوموتو ایجاد میشود، دقیقا مانند مدل اصلی آن میباشد.
بدلیل اینکه سرعت را ثابت فرض کردیم، برای تغییرات نسبتا کوچک در درجه سکان و همچنین مقادیر ثابت پیشرانه، مدل فوق قابل قبول است.
با حذف کردن v (سرعت در جهت کناره ها) در معادله (۴-۱۲) داریم][۱۲۲][ :
(‏۴‑۱۳)
میتوان معادله (۴-۱۳) را به فرم زیر نیز نوشت:
(‏۴‑۱۴)
تبدیل لاپلاس معادله فوق:
(‏۴‑۱۵)
پارامترهای این مدل میتوانند بسیار سریع تر از مدل دینامیکی مشتقی (۴-۱۱) و (۴-۱۲) عمل کنند.
(‏۴‑۱۶)
(‏۴‑۱۷)
(‏۴‑۱۸)
(‏۴‑۱۹)
(‏۴‑۲۰)
بدلیل اینکه یکی از قطبها امکان صفر شدن دارد، میتوان معادله (۴-۱۵) را به شکل زیر نوشت:
(‏۴‑۲۱)
(‏۴‑۲۲)
τ k,پارامترهای تابع طول و سرعت(به سمت جلو) در کشتی میباشد.
با بهره گرفتن از تبدیل لاپلاس معادله فوق و ساده سازی، میتوان آنرا به فرم زیر نمایش داد :
(‏۴‑۲۳)
با توجه به روابط بالا، میتوان رابطه بین زاویه سکان () و جهت حرکت () بدست آوریم:
(‏۴‑۲۴)
تابعی غیر خطی از میباشد. تابع بوسیله قرار دادن در رابطه بالا حاصل میشود .برای نمونه میتوان را به شکل زیر تعریف کرد:

دانلود متن کامل پایان نامه در سایت jemo.ir موجود است